TOÁN CỔ TRUYỀN

Toán Cổ Truyền

Vô Biên

Đọc bản hồi-ký của anh Tô Đồng, tôi biết được hai bài toán cổ-truyền , mẹ anh đã kể cho anh ngày xưa Dưới đây, tôi trình bầy đầu-đề và bài giải của hai bài toán đó .

Bài toán thứ nhất
« Vừa gà, vừa chó ba mươi sáu con,
Trói lại cho tròn, đếm đủ trăm chân . »

Xin hỏi có bao nhiêu gà và bao nhiêu chó ?

Bài giải dùng Số-học

Giả-thuyết số 1 . Ta lấy giả-thuyết rằng tất cả 36 con vật đều là chó và tổng-cộng được 36×4 = 144 cái chân . Như vậy trong giả-thuyết, ta đã đổi tất cả gà trong sự thật ra chó và ta đã làm cho số chân tăng lên 144 – 100 = 44 cái .
Mỗi lần ta đổi một con gà ra một con chó thì ta làm số chân tăng lên 4 – 2 = 2 cái . Nay ta thấy số chân đã tăng lên 44 cái thì ta biết rằng :
- số gà trong sự thật (đã bị đổi ra chó) là : (44/ 2) = 22 con và
- số chó trong sự thật là : 36 – 22 = 14 con .

Giả-thuyết số 2 . Ta lấy giả-thuyết rằng tất cả 36 con vật đều là gà và tổng-cộng được :
36 x 2 = 72 cái chân . Như vậy trong giả-thuyết, ta đã đổi tất cả chó trong sự thật ra gà và ta đã làm cho số chân giảm xuống 100 – 72 = 28 cái .
Mỗi lần ta đổi một con chó ra gà thì ta làm số chân giảm xuống : 4 – 2 = 2 cái . Nay ta thấy số chân đã giảm xuống 28 cái thì ta biết rằng :
- số chó trong sự thât. (đã bị đổi ra gà) là : 28/ 2 = 14 con và
- số gà trong sự thật là : 36 – 14 = 22 con

Giả-thuyết số 3 . Ta lấy giả-thuyết rằng ta có (36/ 2 =) 18 con gà và 18 con chó và tổng-cộng được 18 x 2 + 18 x 4 = 36 + 72 = 108 cái chân . Như vậy thì so với sự thật, số chân đã tăng lên : 108 – 100 = 8 cái ; và ta biết rằng trong giả-thuyết, ta đã đổi 8/2 = 4 con gà ra chó .Vậy thì :
- số chó trong sự thật là : 18 – 4 = 14 con và
- số gà trong sự thật là : 18 + 4 = 22 con

Bài giải dùng Đại-Số- học
.Nay ta đặt « g » là số gà và « c » là số chó . Theo như đâù-đề thì ta có hai phương-trình sau đây :
g + c = 36 (1)
2g + 4c = 100 (2)

Nay ta nhân mỗi vế của phương-trình (1) với 4 thì ta có :
4g + 4c = 4 x 36 = 144 (3)

Lời chú – Làm (3) trên đây thì cũng như làm giả- thuyết số 1
Nay ta làm (3) – (2) từng vế môt. thì ta có :
(4g + 4c) – (2g + 4c) = 144 – 100 = 44 nghĩa là : 2g = 44 vậy số gà là g = 22 con và
số chó là c = 36 – 22 = 14 con
Ta cũng có thể nhân mỗi vế của phương-trình (1) với 2 thì ta có :
2g + 4c = 2 x 36 = 72 (4)
Lời chú – Làm (4) trên đây thì cũng như làm giả-thuyết số 2 .
Nay ta làm (2) – (4) từng vế một thì ta có :
(2g + 4c) – (2g + 2c) = 100 – 72 = 28 nghĩa là 2c = 28 vậy số chó là : c = 14 con và
số gà là : 36 – 14 = 22 con

Bài toán thứ hai
« Một trăm con trâu, một trăm bó cỏ,
Con đứng ăn năm, con nằm ăn ba, ba con già ăn một ”

Xin hỏi có bao nhiêu con trâu đứng, bao nhiêu con trâu nằm và bao nhiêu con trâu già ?

Lời mở đầu – Ta hãy đặt : « x » là số trâu đứng, « y » là số trâu nằm và « z » là số trâu già .
Ta bảo rằng bộ ba (x, y, z) là một lời giải của bài toán nếu nó thích-hợp với đầu-đề trên đây .

Bài giải dùng Số-học
– Ta thấy ngay rằng bộ ba (x1, y1, z1) = (0, 25, 75) là một lời giãi cũa bài tóan .
–Ta lại thấy rằng bộ ba : (x2, y2, z2) = (x1 + 4, y1 – 7, z1 +3) = (0 + 4, 25 – 7, 75 + 3)
tức là (x2, y2, z2) = ( 4, 18, 78) cũng là một lời giải của bài tóan .
– Cứ tiếp-tục như vậy thì ta có thêm hai lời giải nữa :
(x3, y3, z3) = (4 + 4, 18 – 7, 78 + 3) = ( 8, 11, 81) và :
(x4, y4, z4) = (8 + 4, 11- 7, 81+ 3) = (12, 4, 84)

Bài giải dùng Đại-Số- học .
– Theo như đầu-đề thì ta có hai phương-trình sau đây :
x + y + z = 100 (5)
5x + 3y + z/3 = 100 (6)

Ta thấy rằng ta có hai phương-trình với ba ẩn-số . Ta viết lại hai phưong- trinh đó như sau :
x + y = 100 – z (7)
5x + 3y = 100 – z/3 (8)

Nếu ta giải hệ-thống hai phương-trình với hai ẩn-số x, y (bằng những cách thông-thường) thì ta có :
x = 4z/3 – 100 (9)
y = – 7z/3 + 200 (10)

Bộ ba (x, y, z) là một lời giải của bài toán nếu nó thỏa-thuận hai phương- trình (9)-(10) và những điều-kiện sau đây :
** x là một số nguyên dương và 0 < x < 20 (vì mỗi con trâu đứng ăn 5 bó cỏ, mà tất cả chỉ có 100 bó cỏ ) (11)

** y là một số nguyên dương và 0 < y < 100/ 3 (vì mỗi con trâu nằm ăn 3 bó cỏ mà
tất cả chỉ có 100 bó cỏ) (12)

** z là một số nguyên dương, là bội-số cuả 3 và 0 < z < 100 (13)

Dùng (9) để biểu-lộ điều-kiện (11) thì ta có :
0 < 4z/ 3 – 100 < 20 như vậy thì ta có : 75 < z < 90 (14)

Dùng (10) để biểu-lộ điều-kiện (12) thì ta có :
0 < – 7z/ 3 + 200 < 100/3 như vậy thì ta có : 500/ 7 < z < 600/ 7 (15)

Hai điều-kiện (14) và (15) hợp lại cho ta :
75 < z < 600/ 7 (16)

Hơn nữa theo như (13) thì z phải là bội-số của 3 ; như vậy thì z chỉ có thể có những trị- số sau đây : z1 = 75, z2 = 78, z3 = 81, z4 = 84 . .
Nay ta lấy z = z1 = 75 chẳng hạn thì (9) và (10) cho ta một và chỉ có một trị- số của x là x1 = 0 và một và chỉ có một trị-số của y là y1 = 25 và ta có một và chỉ có một lời giải
(x1, y1, z1) = ( 0, 25, 75)
Cứ tiếp-tục như vậy thì ta có 4 và chỉ có 4 lời giải từ (x1, y1, z1) đến (x4 ,y4, z4) đã nói trên đây .

Bài giải dùng Hình-học phân-tích
Trên đây ta đã thấy rằng nếu (x, y, z) là môt. lời giải của bài toán thì ta có :
x + y + z = 100. (8)
5x + 3y + z/3 = 100 (9)

Trong một hệ-thống trục Oxyz thì (8) là phương-trình của một mặt phẳng P1 và (9) là phương-trình của một mặt phẳng P2 . và (8),(9) là hệ-thống phương-trình của đuờng thẳng Đ nơi hai mặt phăng P1 và P2 cắt nhau . Mỗi lời giải (x, y, z) của bài toán là một điểm (x, y, z) trên đường thẳng Đ .

Đường thẳng Đ cắt mặt phẳng xOz (mà phương-trình là y = 0) ở điểm A = (xA, yA , zA) thỏa-thuận với hệ-thống phương-trìnnh :
x + y + z = 100 5x + 3y + z/3 = 100 y = 0

Giải hệ-thống phuơng-trình đó thì ta thấy : A = ( 100/7, 0 , 600/7 )
Đường thẳng Đ cắt mặt phẳng yOz (mà phương-trình là x = 0 ) ở điểm B = (xB, yB, zB)
thỏa-thuận với hệ-thống phương-trình :
x + y + z = 100 5x + 3y + z/3 = 100 x = 0

Giải hệ-thống phương-trình đó thì ta thấy B = ( 0 , 25 , 75 )
Đường thẳng Đ chạy qua hai điểm A và B nên hệ-thống phương-trình của nó là :
( x – xB) / ( xA – xB) = (z –zB) / (zA – zB)
( y – yB) / (yA – yB) = (z – zB) / (zA – zB) tức là :
(x – 0) / (100/7 – 0) = (z – 75) / (600/7 – 75)
(y – 25) / ( 0 – 25) = (z – 75) / (600/7 – 75) Vậy hệ-thống phương-trình của Đ là :
x = 4z/3 – 100 ( 9)
y = – 7z/3 + 200 (10)

Trên đường thẳng Đ : — những điẻm (x, y, z) nằm trước điểm A = (100/7, 0 , 600/7) đều có
y < 0 — những điểm (x, y, z) nằm sau B = ( 0 , 25, 75) đều có x < 0 . Như vậy thì tất cả những lời giải (x, y, z) của bài toán (thỏa-thuận với x >0 và y>0 và z>0 ) đều là những điểm nằm trên đoạn thăng AB của Đ . Vì A = (100/7, 0 , 600/7) và B = ( 0 , 25, 75) nên ta có :
0 < x < 100/7 0 < y < 25 75 < z < 600/7

Hơn nữa, theo như (13) thì z phải là bội-số của 3 cho nên z chỉ có thể có những trị-số : z1 = 75, z2 = 78, z3 = 81, z4 = 84 . Nay ta dùng lần- lượt những trị số đó trong (16) và (17) thì ta có lần-lượt 4 và chỉ có 4 lời giãi của bài toán, từ (x1, y1, z1) cho đến (x4, y4, z4) đã nói trên đây .

Kết-luận
Ta thấy rằng nếu biết cách giải bài toán dùng số-học thì ta có thể, tính nhẩm mà tìm ra được tất cả những lời giải. Hồi còn ở nhà, tôi thấy có nhiều người, tuy không biết đọc không biết viết mà tính nhẩm lại rất giỏi và rất nhanh
Vì những lẽ đó nên tôi tin rằng ngày xưa, nhiều người, tuy không biết đọc, không biết viết mà đã giải được hai bài toán cổ-truyền trên đây và đã tính nhẩm mà tìm ra được tất cả những lời giải .